یک همسایگی باشد.

تعاریف

 تابع هر هیچ نقطه از دامنه خود پیوسته نمی‌باشد.

 

تابع تحلیلی

 تابع تحلیلی، تابعی است که به طور محلی به وسیله یک سری توانی همگرا مشخص می شود. می توان به توایع تحلیلی مانند یک پل بین چند جمله ایها و توابع در حالت کلی فکر کرد. اینجا توابع تحلیلی حقیقی و توابع تحلیلی مختلط وجود دارند، که شباهتها و تفاوتهایی دارند. یک تابع تحلیلی است اگر برابر با سری تیلورش در

تابع f رو مجموعهٔ باز D در خط حقیقی، تحلیلی حقیقی است اگر برای هر x₀ در D بتوان نوشت:

در این فرمول ضرایب a₀, a₁, ... اعداد حقیقی هستند و سری برای x در یک همسایگی از x₀ همگرا است. به صورت دیگر، یک تابع تحلیلی یک تابع بینهایت بار مشتق پذیراست به این صورت که سری تیلور در هر نقطه x₀ در دامنه اش

برای x به اندازه کافی نزدیک به x₀ همگراست و مقدارش برابر با f(x) است. تعریف یک تابع تحلیلی مختلط با جایگزین کردن «مختلط» به جای «حقیقی» و «صفحهٔ مختلط» به جای «خط حقیقی» در مطالب بالا بدست می آید.

مثال ها

• هر چند جمله‌ای (حقیقی یا مختلط) یک تایع تحلیلی است. به این دلیل که اگر یک چند جمله ای از درجه n باشد، هر جمله ازدرجه بزرگ‌تر از n در بسط سری تیلورش صفر است، وبنا براین، این سری به طور جزئی همگرا خواهد بود.
• تابع نمایی تحلیلی است. هر سری تیلور برای این تابع نه فقط برای x به اندازه کافی نزدیک به x₀ (همان طور که در تعریف آمده) بلکه برای همه مقدار x (حقیقی یا مختلط) همگرا می شود.
• توابع مثلثاتی، لگاریتم و توابع توانی روی هر بازهٔ باز در دامنهٔشان تحلیلی اند.
• تابع قدر مطلق تحلیلی نیست زیرا مشتق پذیر نیست. توابع تعریف شدهٔ تکه ای(تابعهای معلوم به وسیله فرمولهای مختلف در مناطق مختلف) تحلیلی نیستند.

خصوصیات توابع تحلیلی

• مجموع ها، ضرب ها و ترکیبات توابع تحلیلی، تحلیلی اند.

·         معکوس یک تابع تحلیلی که هیچ کجا صفر نیست، تحلیلی است.

• هر تابع تحلیلی هموار است.

تابع هولومورفیک

توابع هولومورفیک موضوع اصلی در مطالعهٔ آنالیز مختلط هستند. آنها توابعی هستند که بر روی یک زیر مجموعهٔ باز از صفحهٔ مختلط C تعریف شده اند با مقادیری در C که در هر نقطه مشتق مختلط دارند. iهولومورفيك بودن یک شرط قویتر از مشتقپذیری مختلط است و دلالت بر این دارد که تابع بینهایت بار مشتقپذیر است و می تواند با سری تیلوراش نشان داده شود. واژهٔ تابع تحليلی اغلب بطور قابل معاوضه به جای «تابع هولومورفیک» استفاده می شود. اگرچه دقت شود که عبارت اول معانی دیگری نیز دارد. تابعی که بر کل صفحهٔ مختلط هولومورفیک باشد تابع تام نامیده می شود. عبارت «هولومورفیک در نقطهٔ a» به معنی نه تنها مشتقپذیر در a، بلکه مشتقپذیر در هر جا درون یک دیسک باز به مرکز a (یک همسایگی a) در صفحهٔ مختلط است.

تعریف

اگر U یک زیر مجموعهٔ باز از C و f : U → C یک تابع باشد، می گوییم f در نقطهٔ z₀ از U مشتق مختلط دارد اگر حد

وجود داشته باشد. در اینجا حد بر روی تمام دنبالههای اعداد مختلط که به z₀ میل می کنند گرفته شده است، و برای تمام چنین دنباله هایی حد باید به عدد f '(z₀) میل کند. به طور مستقیم، اگر f در z₀ مشتقپذیر مختلط بوده و ما در جهت r به z₀ نزدیک شویم، آنگاه تصاویر نقاط از جهت f '(z₀) r به f(z₀) نزدیک می شوند، که ضرب آخر ضرب اعداد مختلط است. این مفهوم مشتقپذیری جند خصوصیت مشترک با مشتقپذیری حقیقی دارد: خطی است و از قوانین ضرب، تقسیم و قاعدهٔ زنجیری تبعیت می کند. اگر f در هر نقطه z₀ از U مشتق‌پذیر مختلط باشد، می گوییم f بر U هولومورفیک است. می گوییم f در نقطهٔ z₀ هولومورفیک است اگر که در یک همسایگی از z₀ هولومورفیک باشد. می گوییم f در مجموعهٔ غیر باز A هولومورفیک است اگر در یک مجموعهٔ باز شامل A هولومورفیک باشد. یک تعریف معادل بدین صورت است. تابع مختلط f(x + iy) = u + iv هولومورفیک است اگر و تنها اگر در معادلات کوشی-ریمان صدق کند و u و v مشتقات جزئی اول پیوسته بر حسب x و y داشته باشند.

مثالها

تمام توابع چندجمله‌ای در z با ضرایب مختلط بر C هولومورفیک اند، و بنابراین سینوس، کسینوس، و تابع نمایی چنین اند. (توابع مثلثاتی در حقیقت به طور نزدیک وابسته به تابع نمایی اند و به وسیلهٔ فرمول اویلر می توانند توسط تابع نمایی تعریف شوند). شاخهٔ اصلی تابع لگاریتم در مجموعهٔ C - {z ∈ R : z ≤ 0} هولومورفیک است. تابع ریشه می تواند به صورت

تعریف شود و بنابراین هولومورفیک است هر کجا که لگاریتم ln(z) هولومورفیک باشد. تابع 1/z بر {z : z ≠ 0} هولومورفیک است.

مشخصات

از آنجا که مشتق گیری مختلط خطی است و از قوانین ضرب، تقسیم، و قاعدهٔ زنجیری تبعیت می کند، مجموع ها، ضرب ها و ترکیب توبع هولومورفیک، هولومورفیک اند و خاج قسمت دو تابع هولومورفیک، هولومورفیک است هرجا که مخرج مخالف صفر باشد. هر تابع هولومورفیک بینهایت با مشتقپ‌ذیر در هر نقطه است. تابع هولومورفیک منطبق بر سری تیلوراش است و سری تیلور آن در هر دیسک باز که کاملاً درون دامنهٔ U قرار دارد همگراست. سر تیلور ممکن است در یک دیسک بزرگ همگرا باشد؛ برای نمونه سری تیلور تابع لگاریتم در هر دیسک که شامل 0 نباشد همگراست، در مجاورت خط حقیقی منفی. برای اثبات به توابع هولومورفیک تحلیلی اند مراجعه کنید. اگر C را با R² نشان دهیم، آنگاه توابع هولومورفیک منطبق بر آن دسته از توابع از دو متغیر حقیقی اند که در معادلات کوشی-ریمان صدق می کنند. نزدیک نقاط با مشتقاط غیر صفر، توابع هولومورفیک همنوایند به این معنی که آنها زاویه و شکل (ولی نه اندازه) اشکال کوچک را حفظ می کنند. فرمول انتگرال کوشی می گوید که هر تابع هولومورفیک درون یک دیسک تماما با مقادیرش روی حاشیهٔ دیسک مشخص می شود. از دید جبری مجموعهٔ توابع هولومورفیک بر یک مجموعهٔ باز یک حلقهٔ جابجایی و یک فضای برداری مختلط اند.

گسترش به آنالیز تابعی

مفهوم تابع هولومورفیک می تواند به فضاهای متناهی-بعد از آنالیز تابعی گسترش داده شود.

اصطلاحات فنی

امروزه، اکثر ریاضی دانان عبارت «تابع هولومورفیک» را به «تابع تحلیلی» ترجیح می دهند، نظر به اینکه عبارت دوم مفهوم کلی تری است. این همچنینی به این دلیل است که یک نتیجهٔ مهم در آنالیز مختلط این است که هر تابع هولومورفیک به طور مختلط تحلیلی است، حقیقتی که مستقیما تعاریف را دنبال نمی کند. با این وجود عبارت «تحلیلی» همچنان پرکاربرد است. کلمهٔ «هولومورفیک» از کلمهٔ یونانی holos به معنی «همه» و morphe به معنی «شکل» یا «ظاهر» مشتق شده است.

همچنین نگاه کنید به

• تابع مرومورفیک

تابع مرومورفیک

در آنالیز مختلط، یک تابع مرومورفیک روى یک زیرمجموعه باز D از صفحه مختلط، یک تابع است که روى تمام D به جز نقاط تکین خود هولومورفیک است، که این نقاط قطب‌هاى تابع هستند. (نام‌گذارى از کلمهء باستانى یونانى "meros"، به معنی جزء در برابر "holos"‌به معنی کل می‌آید.) این چنین توابع را گاهی توابع منظم یا روى D منظم می‌گویند. هر تابع مرومورفیک روى D می‌تواند به صورت نسبت بین دو تابع هولومورفیک (با مخرجی که ثابت 0 نباشد.) تعریف‌شده روى D بیان‌ شود. بنابراین قطب‌ها در صفرهاى مخرج اتفاق می‌افتند. پس ذاتا یک تابع مرومورفیک نسبت دو تابع «مؤدب» (هولومورفیک) است. چنین تابعی به جز در نقاطی که مخرج تابع صفر است و مقدار تابع بینهایت خواهد شد، همچنان «مؤدب» می‌ماند. از دید جبری اگر D همبند باشد، آنگاه مجموعه‌ی توابع مرومورفیک، میدان کسرهای دامنه‌ی انتگرال از مجموعه‌ی توابع هولومورفیک است. این قایل قیاس با رابطه‌ی بین ، اعداد کسری، و ، اعداد صحیح است.

مثالها

• تمام توابع گویا مانند

f(z) = (z³ − 2z + 1)/(z⁵ + 3z − 1) ‎

در کل صفحه‌ی مختلط مرومورفیک‌اند.

• توابع f(z) = exp(z)/z و f(z) = sin(z)/(z − 1)²

همانند تابع گاما و تابع زیتای ریمان بر روی کل صفحه‌ی مختلط مرومورفیک‌اند.

• تابع

f(z) = exp(1/z) در تمام صفحه‌ی مختلط به جز مبدا تعریف شده است. با این وجود، 0 قطب این تابع نیست، بلکه یک نقطه تکین اساسی است. بنابراین، این تابع در تمام صفحه‌ی مختلط مرومورفیک نیست. با این وجود، روی C\{0} مرومورفیک (حتی هولومورفیک) است.

خصوصیات

از آنجایی که قطب‌های یک تابع مرومورفیک منفردند، پس شمارایند. مجموعه‌ی قطبها می‌تواند نامتناهی باشد همانطور که با تابع زیر نشان داده شده است

f(z)=1/sin(z).

تابع حسابی

در نظریه اعداد، تابع حسابی تابعی است با دامنه اعداد طبیعی.

گاهی به این توابع تابع نظریه اعدادی نیز می‌گویند اما این لفظ بیشتر به توابع حسابی با برد اعداد حقیقی یا مختلط استفاده می‌شود.

توابع حسابی نقش اساسی در نظریه اعداد دارند و کمک می کنند خواص اعداد را بهتر مورد مطالعه قرار دهیم.

مثال‌هایی از توابع حسابی

نمونه‌های زیادی را می توان از توابع حسابی نام برد. چند نمونه از مهم‌ترین و پرکاربردترین آنها عبارت‌اند از:

• تابع فی اویلر: تابع فی-اویلر یا تابع کامل اویلر، به ازای هر عدد طبیعی n به صورت تعداد اعداد طبیعی نابیشتر از n که نسبت به n اولند تعریف می‌شود و آن را با φ نشان می‌دهند.
• تابع موبیوس: از مهم‌ترین توابع حسابی تابع موبیوس است که آن را با μ نشان می‌دهند و برای هر عدد طبیعی n به صورت زیر تعریف می‌شود:

یا به عبارت دیگر:

·          

• μ(n) = 1 اگر n=1.
• اگر n عددی خالی از مربع نباشد(یعنی بر مربع عددی اول بخش‌پذیر باشد) در این صورت μ(n) = 0
• اگر n=p₁p₂p₃...p_r که در آن p_i ها اعداد اول متمایز هستند، μ(n) = ( − 1)^r
• تابع منگولد: برای هر عدد طبیعی n تابع منگولد Λ(n) را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

یا به عبارت دیگر:

·          

• اگر به ازای عدد اول p و عدد طبیعی n=p^k ،k آنگاه Λ(n) = lnp
• در غیر این صورت Λ(n) = 0
• تابع لیوویل: برای هر عدد طبیعی n، تابع لیوویل λ(n) را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
  • اگر n=1، آنگاه λ(1) = 1
  • اگر n>1 و تجزیه استاندارد n به عوامل اول باشد، آنگاه

.

• توابع مقسوم علیهی: برای هر عدد طبیعی n و هر عدد حقیقی α تابع σ_α(n) را به صورت مجموع توانهای α ام مقسوم علیه‌های n تعریف می‌کنیم یعنی:

• تابع همانی:برای هر عدد طبیعی n تابع را تابع همانی می‌گویند. علت نام‌گذاری این تابع به عنوان همانی آن است که این تابع عضو خنثی (همانی) نسبت به ضرب دیریکله توابع حسابی محسوب می‌شود.
• تابع یکه:به ازای هر عدد طبیعی n تابع u(n) = 1 را تابع یکه می گویم.
• تابع توان:برای هر عدد طبیعی n و هر عدد حقیقی با مختلط α تابع N^α(n) = n^α را تابع توان می‌گوییم.

توابع حسابی ضربی

تابع حسابی f را ضربی می‌گوییم هرگاه به ازای هر دو عدد طبیعی متباین(نسبت به هم اول) m,n داشته باشیم:

f(mn) = f(m)f(n)

همچنین تابع حسابی f را ضربی قوی یا کاملاً ضربی می‌گوییم هرگاه برای هر دو عدد طبیعی m,n داشته باشیم:

f(mn) = f(m)f(n)

به عنوان مثال تابع فی اویلر و تابع موبیوس از جمله توابع ضربی و تابع لیوویل، تابع یکهو تابع توان از جمله توابع کاملاً ضربی می‌باشند.

مجموع دیریکله تابع حسابی.

اگر f تابعی ضربی باشد، برای هر عدد طبیعی n:

را مجموع دیریکله یا مجموعه مقسوم علیهی تابع حسابی f می‌گوییم که در آن مجموع بر روی مقسوم علیه های n چون d در نظر گرفته شده‌است.

آشکار است که اگر f تابعی حسابی باشد،

نیز تابعی حسابی است. اگر f ضربی باشد مجموع دیریکله آن یعنی g نیز ضربی خواهد بود.

نمونه‌های زیر مجموع دیریکله برخی توابع مهم را نشان می‌دهد:

·          

ضرب دیریکله تابع حسابی.

اگر f و g دو تابع حسابی باشند حاصل ضرب دیریکله دو تابع را با f*g نشان می‌دهیم و برای هر عدد طبیعی n به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

این مجموع‌ها در مطالعه توابع حسابی بسیار ظاهر می‌شوند.

همچنین لازم به توضیح است که به ضرب دیریکله، پیچش دیریکله نیز می‌گویند. این حاصل ضرب را می‌توان به پیچش های تعمیم یافته تعمیم داد که عملی مشابه را بین تابعی حقیقی یا مختلط و تابعی حسابی تعمیم می‌دهد.

مشتق توابع حسابی

اگر f تابعی حسابی باشد مشتق f را برای هر عدد طبیعی n به صورت:

تعریف می‌کنیم.

رفتار این مشتق تاحد زیادی به رفتار مشتق در حساب دیفرانسیل و انتگرال شبیه است.

به عبارت دیگر اگر f و g توابعی حسابی باشند:

·          

تابع موج

یک نمونه تابع موج دوبعدی کوانتمی

تابع موج (به انگلیسی: Wave function) در مکانیک کوانتومی برای هر ذره یا سامانه فیزیکی، یک تابع مختلط می‌باشد که دربرگیرندهٔ حالات ممکن ذره یا سامانه در فضا است. تابع موج می‌تواند هم در فضای مکان و هم در فضای تکانه بدست آید که این دو فضا به‌وسیله تبدیل فوریه به یکدیگروابسته می‌شوند.تابع موج بنابرمساله مورد بررسی در یکی ازمعادلات شناخته شده مکانیک کوانتومی (برای نمونه درحالت غیرنسبیتی در معادله شرودینگر) صدق می‌کند.تابع موج را معمولاً با ψ نشان می‌دهند.تابع موج را می‌توان به زبان ریاضی به صورت یک بردار مختلط که تعداد عناصر آن می‌تواند مشخص ویا بیشمار ویا به‌وسیله یک تابع مختلط که دارای متغیرهای حقیقی باشد نشان داد. تابع موج به صورت بردار مختلط با تعداد عناصر مشخص رامی توان به صورت : وبا تعداد عناصربیشمار به صورت : و به صورت تابع مختلط نشان داد. تابع موج یک موجود مختلط است و مفهوم فیزیکی ندارد. آنچیزی که برای ما قابل درک است کمیتی است حقیقی به نام چگالی احتمال که از حاصلضرب تابع موج در مزدوج خود بدست می‌آید و آنرا با P نشان می‌دهیم .

دیراک با تعریف و نمادگذاری فضاهای برا(bra) و کت(ket) فرمول نویسی و پیکربندی مکانیک کوانتومی را آسان نمود. تابع موج الکترون و یا هر ذره اتمی به تنهایی بیان کننده چیزیی نیست و مفهومی ندارد.به علت اصل عدم قطعیت به طور دقیق نمیتوان مکان الکترون، انرژی و... را مشخص کرد.در مکانیک کوانتومی تنها می توان از احتمال یک پدیده صحبت کرد.احتمال حضور الکترون در یک مکان خاص،احتمال بودن در تراز انرژی مخصوص،احتمال گذار از یک تراز به تراز دیگر و... .بر خلاف تئوری های پیشین در باره اتم که آن را به صورت یک هسته که الکترون ها و پروتون ها در اطراف آن چرخش می کردند فرض میکردند، در مکانیک کوانتومی الکترون در اطراف هسته قرار دارد، ولی نمیتوان گفت که در کجا و در چه فاصله ای و در چه ترازی قرار دارد. بلکه با استفاده از پتانسیلی که الکترون درآن قرار دارد و حل معادله شرودینگر برای الکترون و بدست آوردن تابع موج حاکم بر رفتار الکترون، میتوان بررسی کرد که احتمال حضور الکترون در فاصله به خصوصی از هسته و تراز انرژی آن جه قدر است. بنابراین باید تابع احتمال را بدست آورد. تابع احتمال در مکانیک کوانتومی از ضرب تابع موج در مختلط همان تابع بدست می آید.به عبارت بهتر باید بر روی تابع موج عمل مجذور مختلط انجام داد. دنیای مکانیک کوانتومی دنیای عملگرهااست.عمل گر یک وسیله اندازه گیری در کوانتوم است. فرض می کنیم که میخواهیم بدانیم الکترون در چه تراز انرژی قرار دارد.برای این کار روی آن اندازه گیری از نوع انرژی انجام می دهیم.این عمل در فرمول بندی مکانیک کوانتومی بدین صورت است که عملگر هامیلتونی سیستم (الکترون) که همان وسیله اندازه گیری برای انرژی است باید روی تابع موج سیستم(الکترون) اعمال شود که باید نتیجه این عمل به درستی تعبیر شود.اگر تابع موج سیستم(الکترون)بهنجار شده و تابع موج پایه سیستم باشد،آنگاه از اعمال عملگر هامیلتونی روی تابع موج الکترون دو قسمت مجزا بدست می آید. یک قسمت عددی با بعد انرژی است که به آن مقدار انتظاری انرژی گویند.قسمت دیگر همان تابع موج سیستم خواهد بود.اما تعبیر این جواب بدین شکل است که:احتمال اینکه الکترون در ترازانرژی بدست امده(مقدار انتظاری انرژی) باشد برابر است با مجذور مختلط کل جواب بدست آمده از اعمال عملگر هامیلتونی بر روی تابع موج.

تاریخچه

تناقض هایی که بین آزمایشات در خوزه فیزیک اتمی و زیر اتمی و قوانین فیزیک کلاسیک وجود داشت باعث روآوری فیزیک دانان به مکانیک کوانتومی شد. در حقیقت آزمایش با تئوری سازگاری نداشت و فیزیک کلاسیک نمیتوانست بسیای از پدیده های حوزه اتم را پیش بینی کند. از طرف دیگر دوگانگی در رفتار نور و الکترون ها که در آزمایش دو شکاف یانگ بوجود آمد علت اساسی تعریف تابع موج برای حرکتهای اتمی شد.بدین معنا که رفتار الکترون ها را بوسیله تابع موج گونه توضیح میدهیم. آنجائیکه الکترون رفتار ذره ای دارد ، میگوییم تابع موج آن جایگزیده است و آنجا که رفتار موج گونه دارد، تابع موج آن گسترده و پخش شده است. باید دقت کرد که حرکت الکترون به صورت موج نیست و یا خودش نیز موج نیست بلکه ذره است. اما میتوان رفتار و خصوصیات آن مانند انرژی، حضور در یک مکان و ... را بوسیله تابع موج توضیح داد.

توابع بولی^[۱]

به تابعی گویند که از یک عبارت جبری متشکل از متغییرهای دودویی وثابت های ۰ و ۱ سمبل های عملیات منطقی تشکیل شده باشد. تابع بول را می توان به نمودار مداری به نام گیت تبدیل کرد.

تعریف دقیق

در ریاضی،یک تابع بولی(محدود)تابعی است به صورتf : Bk → B نمایش داده می شود،که در آن{ B = {0, 1دامنه ی بولی و kعدد صحیح نا منفی است که
عدد آرگومان تابع نامیده می شود،در صورتی که k=0،"تابع"لزوماٌ یک المان ثابت B است.
هر فرمول بول k-تایی را می توان بصورت فرمول گزاره ای نشان داد که تابع kمتغیرx1,x2,. . . باشد؛دو فورمول بصورت منطقی معادلند اگر و فقط اگردو تابع بولی یکسان را مشخص کنند.برای هرkتابع داریم.

انواع توابع بول

توابع بول با توجه به خروجی حاصل از هر مجموعه ورودی به شانزده عنوان نامگذاری شده اند که پر کاربردترین آنها عبارتند از:

تابع بولی NOT :

این تابع مقدار ورودی یک را صفر و صفر را یک می کند.
این مدار وضعیت متغییر دودویی را معکوس می کند.
همچنین متمم متغییر را تولید می کند.

تابع بولیOR :

در این تابع تنها اگر یکی از متغییر ها مقدار یک داشته باشد خروجی برابر یک خواهد بود.
در صورتی مقدار خروجی صفر می شود که تمام ورودی ها برابر صفر باشند.

[ویرایش] تابع بولیAND :

در این تابع اگر فقط یکی از متغییرها صفر باشد خروجی گیت نیز صفر خواهد بود.
تابع بولی فوق در صورتی مقدار یک را برمی گرداند که همه ی متغییر ها برابر یک باشند.

تابع بولی NAND :

این تابع بولی معادل با NOT AND می باشد.
خروجی ان در صورتی صفر می شود که تمام متغییر های ورودی ان یک باشند.

تابع بولی NOR :

این تابع هم معادل NOT OR می باشد.
یعنی خروجی تنها در صورتی یک می باشد که تمام ورودی ها برابر صفر باشند.

تابع بولی XOR :

در این تابع بول اگر همه ی متغییر های ورودی از یک نوع باشند یعنی اگر همه ی ورودی ها یک یا صفر باشد خروجی صفر خواهد بود.
در غیر این صورت برابر یک می باشد.
XOR چند ورودی از نظر سخت افزاری متداول نیست.
XOR یک تابع بولی فرد است. یعنی اگر ورودی اش دارای تعداد فردی یک باشد خروجی ان برابر یک می شود.

تابع بولی XNOR :

در این تابع بولی اگر متغییر های ورودی از یک نوع باشند خروجی یک می شود در غیر این صورت برابر صفر خواهد بود.

تابع بولیBUFFER :

این تابع عمل منطقی تولید نمی کند.
مقدار دودویی ورودی برابر مقدار خروجی است.
از مدار بافر در تقویت توان سیگنال ها استفاده می شود.

توابع بولی و کاربرد

یک تابع بولی مشخص می کند که چگونه بویسله ی محاسبات منطقی و ورودی های بولی،خروجی مناسب بسازیم.چنین توابعی نقشی اساسی در مسائل نظریه پیچیدگی دارند،همچنین در طراحی مدارها و چیپ های کامپیوتر های دیجیتال.ویژگی ها ی توابع بولی نقش بسیار مهمی را در رمزنگاری ایفا می کنند،بویژه در طراحی الگوریتم های کلید متقارن.
توابع بولی غالباٌ بوسیله ی گزاره های منطقی نشان داده می شوند،اما نمودار تصمیم دوگانه، روش خنثی سازی متعارف و گراف های جهت دار غیر چرخشی گزاره ای روش های کارآمد تری برای نمایش آن هستند.

گیت

تابع همانی

 

فرض کنید X یک مجموعه ناتهی باشد. در این صورت بدیهی‌ترین رابطه‌ای که ممکن است روی مجموعه X تعریف کنیم رابطه همانی با انعکاسی است. اگر این رابطه را با I نشان دهیم داریم:

نمودار تابع همانی روی مجموعه اعداد حقیقی

به سادگی می‌توان دید رابطه همانی روی مجموعه X یک تابع از X به روی خودش است که به آن تابع همانی می‌گوییم. به گزاره دیگر I:X→X با ضابطه برای هر I(x)=x،x∈X تابع همانی است. اگر مجموعه X را مجموعه اعداد حقیقی R در نظر بگیریم، تابع همانی از مجموعه R به روی مجموعه R تابع f(x)=x است که همان نیمساز ربع اول و سوم دستگاه مختصات دکارتی است. به سادگی می‌توان تحقیق کرد این تابع در مجموعه اعداد حقیقی دوسویی است.

حال مجموعه ناتهی X و زیرمجموعه A از آن را در نظر بگیرید. در این صورت بنابه آنچه از قبل گفته شد می‌توان دامنه تابع همانی روی X یعنی I:X→X را مجموعه A تحدید نمود و حاصل تابع I_|A:A→X است با ضابطه برای هر I(x)=x،x∈A، این تابع را که زیرمجموعه A از X را به توی X می‌نگارد را تعمیمی بر تابع همانی می‌توان دانست که به آن تابع احتوا یا شمول می‌گویند.

تابع غیرجبری

تابع غیرجبری تابعی است که در معادله‌ای چندجمله‌ای که ضریب‌های آن نیز چندجمله‌ای باشد، صدق نکند.

از نمونه‌های معروف تابع غیرجبری تابع لگاریتم و تابع‌های مثلثاتی است.

تابع زتای ریمان

در ریاضیات، تابع زتای ریمان (بعد از برنارد ریمان نامگذاری شد) تابعی است بسیار مهم و پرکاربرد در نظریه اعداد . زیرا با توزیع اعداد اول رابطه دارد. همچنین کاربردهای دیگری نیز در جاهای دیگر علم دارند مانند: فیزیک، نظریه احتمال و کاربرد استاتیک.

[ویرایش] تعریف

تابع زتاریمان (ζ(s برای هر عدد مختلط s با (با جزء حقیقی بزرگتر از یک) با سری نامتناهی زیر تعریف می‌شود:

در ناحیه ی {s ∈ C: Re(s) > 1}, این سری همگراست و یک تابع تحلیلی در این ناحیه تعریف می کند. برنارد ریمان دریافت که چگونه می‌توان این تابع را به تمام نقاط مختلط با جزء حقیقی غیر یک بسط داد که حاصل آن یک تابع مرومورفیک(ζ(s است. موقعیت صفرهای این تابع تحلیلی موضوع حدس ریمان است. بنا به این حدس، برای تمام صفرهای نابدیهی این تابع تحلیلی (آنهایی که یک عدد صحیح زوج منفی نیستند)، جزء حقیقی برابر ½ است.

رابطه با اعداد اول

ارتباط این تابع با اعداد اول ابتدا توسط لئونارد اویلر پیدا شد او پی برد :

یک محاسبه نامحدود که همه اعداد اول را در بر می گیرد، نتیجه این محاسبات برای همگراست. این یک نتیجه منطقی از دو نمونه و نتیجه بنیادی در ریاضیات است. این فرمول برای سری های ژئومتریک و یک قضیه بنیادی علم حساب است.

 

خواص متفاوت

برای تابع زتاریمان روی نوار بحرانی، تابع Z دیده می شود. برای مجموع اعداد صحیح که در تابع زتا گرفتار می شوند، سری ز تا را مستدل می کند.

مقادیر ویژه

در پایین بیشترین استفاده از مقادیر تابع زتاریمان که عمومیت دارند نشان داده می شود.

; تابع هارمونیک:

; بسل]].

; ثابت آپری]]

 

صفرهای تابع زتاریمان

تابع زتاریمان در اعداد صحیح منفی صفر دارد (به معادله ی تابع توجه کنید) به این صفرها، صفرهای بدیهی گویند انها فقط جزئی اند به این خاطر اثبات وجود آنها آسان است. برای مثال از رابطه گاما که در پایین امده است. صفرهای غیر بدیهی که در نظر گرفته می شود بیشتر با توجه به دلیل اینکه توزیع آنها نه تنها کم قابل درک است حتی مهم‌تر از آن اینست که به صورت حیرت آوری رگه ای در پرسش های ریاضی باز می کند. می دانیم که هر صفر غیر بدیهی تابع زتاریمان در نوار باز {s ∈ C: 0 < Re(s) < 1}, که نوار بحرانی نام دارد. فرضیه ریمان اظهار می دارد که هر صفر غیر بدیهی دارای Re(s) = 1/2 است. در قضیه تابع زتاریمان، {s ∈ C: Re(s) = 1/2} خط بحرانی نامیده می شود. جایگاه صفرهای تابع زتاریمان، اهمیت بسیاری در نظریه اعداد دارد. از حقیقت اینکه تمام صفرهای غیر بدیهی در نوار بحرانی قرار دارند، یک می توان نظریه اعداد اول را استنتاج کرد. و یک نتیجه بهتر اینست که:

قوی ترین نتیجه از این بحث اینست که را می توان درستی نظریه ریمان را انتظار داشت که نتایج بسیار ژرفی در نظریه اعداد دارد. این معلوم است که تعداد نامتناهی نوار بحرانی وجود دارد. تیهلد نشان داد که اگر دنباله (γ_n) قسمت موهومی و همه صفرهای صفحه بالایی را شامل می شود که:

قضیه نوار بحرانی ادعا می کند که درصد مثبتی از صفرهای غیر بدیهی در نوار بحرانی قرار دارد. در نوار بحرانی، صفر با کوچک‌ترین قسمت موهومی غیر منفی 1/2+i14.13472514... مستقیماً از معادله ی تابعی دیده می شود که صفر غیر بدیهی متقارن اند حول Re(s) = 1/2 اگر چه ζ(s)=ζ(s*)* برای تمام اعداد مختلط s ≠ 1 بکار می رود که صفرهای تابع زتاریمان حول قسمت حقیقی متقارن و موجودند. گادفری هرلد هاردی اثبات کرد تباع زتای ریمان بی‌نهایت صفر دارد.(هاورد و. ایوز، صفحهٔ ۲۵۸)

معادله ی تابع

تابع زتا، معادله ی تابع ای که در مقابل می آید را مشخص می کند.

که برای تمام s های در C\{0,1}. معتبر است (صدق می کند)، در اینجا منظور از Γ همان تابع گاماست این فرمول برای ساختن آنالیز پیوسته بکار می رود. در S = 1، تابع زتا مانند مانده در قطب 1 است. معادله همچنین نشان می دهد که تابع زتا، صفر بدیهی از -2 , -4 , … دارد. همچنین وجود دارد نمونه ای متقارن از معادله ی تابع که در همان تعریف اولیه را می دهد

این معادله به‌وسیله ی این معادله بدست آمده است:

معکوس

معکوس تابع زتا از سری دریکله روی معادله ی موبیدس نتیجه می شود.

برای هر عدد مختلط s با 1" type="#_x0000_t75" o:spid="_x0000_i1067">1" src="file:///C:\DOCUME~1\Peyman\LOCALS~1\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image044.gif">. ، وجود دارد عددی، از رابطه مشابه که مستلزم اعداد متفاوت است که مشخص می کند تابع ضربی را که محاسبات ریاضیات را روی سری دریکله می دهد. در بالا و با بیان تعارف برای ζ(2), می توان برای حل امتحان دو پیشامد که عدد صحیح را می دهد استفاده کرد که برابر 6/π² است. فرض ریمان هم ارز است با این ادعا که اظهار می کند که وجود دارد وقتی که 0.5" type="#_x0000_t75" o:spid="_x0000_i1068">0" src="file:///C:\DOCUME~1\Peyman\LOCALS~1\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image045.gif">. است.

تابع زتاریمان از تبدیل ملین

تبدیل ملین از یک تابع fe (x) به صورت زیر تعریف می شود.

در ناحیه ای که انتگرال تعریف می شود، تعبیرهای متفاوتی برای تابع زتا در تبدیل ملین وجود دارد. اگر قسمت حقیقی S بزرگ‌تر از 1 باشد داریم:

با حذف جمله اول بسط سری توانی از 1/(exp(x)& حول صفر، ما می توانیم در دیگر نواحی نیز تابع زتا را بدست آوریم با جزئیات در نوار بحرانی خواهیم داشت:

و وقتی قسمت حقیقی بین 0 , -1 باشد داریم:

و ما می توانیم همچنین پیدا کنیم جملاتی را که با اعداد اول رابطه دارند. اگر π(x) یک تابع محاسبه اعداد اول باشد پس

برای مقادیری با 1" type="#_x0000_t75" o:spid="_x0000_i1074">1" src="file:///C:\DOCUME~1\Peyman\LOCALS~1\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image044.gif">. می توانیم رابطه ای بالا را با تبدیل ملین از π(x) by پیدا کنیم.

که

یک مشابه تبدیل ملین مستلزم اینست که تابع J(x) محاسبه ای اعداد اول ریمان که اعداد ( pⁿ ) اول توانی را محاسبه می کند با وزن 1/nپس . حال داریم:

تابع دایگاما

تابع دایگاما ψ(s) در صفحه مختلط. شدت رنگ دامنه تابع را نشان می‌دهد به این صورت که نقاط تیره‌تر به صفر نزدیک‌ترند و طیف رنگ نیز نمایانگر آرگومان تابع می‌باشد.

‫تابع دایگاما برابر با مشتق لگاریتم تابع گاما می‌باشد، یعنی:

این نوشتار در زمینهٔ ریاضیات خُرد است. با گسترش آن به ویکی‌پدیا کمک کنید.

تابع هرمیتی
در آنالیز ریاضی، به تابعی مختلط تابع هرمیتی گویند که برابر باشد با مزدوج خودش که متغیرش تغییر علامت یافته: برای هر x عضو دامنهٔ تابع f.

از این تعریف این خصوصیات نتیجه می‌شود که اگر تابع f تابعی هرمیتی بود آنگاه:

• بخش حقیقی تابع f تابعی زوج است.
• بخش موهومی تابع f تابعی فرد است.

·         تابع حالت

 

·         تابع حالت (به انگلیسی: State function) یا تابع نقطه‌ای، در ترمودینامیک، تابعی است که مسیر فرآیند موجب تغییری در مقدار نهایی آن نشده و فقط به نقاط ابتدایی و انتهایی مسیر وابسته باشد.

·         تابع مشخصه

·          

·          

·        

·         نمودار پیکانی تابع مشخصه A در X

·         فرض کنید X مجموعه‌ای ناتهی و A زیرمجموعه‌ای از X باشد. در این صورت تابع مشخصه A در X، یعنی (بخوانید خی A) را برای هر x∈X به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

·        

·         البته انتخاب مجموعه {0,1} هر چند معمول‌تر است ولی الزامی نیست و می‌توان هر مجموعه دو عضوی دیگر را نیز انتخاب کرد. این تابع به هر عضو مجموعه A عدد یک و به هر عضو X-A یعنی عناصری که متعلق به X هستند ولی به A تعلق ندارند مقدار صفر رانسبت می‌دهد. وجه تسمیه این تابع این است که عناصری زیرمجموعه A از X را از سایر عناصری که در A قرار ندارند جدا می‌کند.

·         نمونه‌ای از یک تابع مشخصه معروف تابع دیریکله است که همان تابع مشخصه Q(اعداد گویا) در R(اعداد حقیقی) است که آن را با D نشان می‌دهیم و به این صورت تعریف می‌کنیم:

·